第1篇力学
  第1章  质点运动学
    1.1  参考系
    1.2  质点的位矢、位移和速度
    1.3  加速度
    1.4  匀加速运动
    1.5  抛体运动
    1.6  圆周运动
    1.7  相对运动
    提要
    思考题
    习题
  第2章  运动与力
    2.1  牛顿运动定律
    2.2  常见的几种力
    *2.3  基本的自然力
    2.4  应用牛顿定律解题
    2.5  非惯性系与惯性力
    *2.6  科里奥利力
    *2.7  潮汐
    提要
    思考题
    习题
  第3章  动量与角动量
    3.1  冲量与动量定理
    3.2  动量守恒定律
    3.3  火箭飞行原理
    3.4  质心
    3.5  质心运动定理
    3.6  质点的角动量和角动量定理
    3.7  角动量守恒定律
    3.8  质点系的角动量定理
    3.9  质心参考系中的角动量
    提要
    思考题
    习题
  第4章  功和能
    4.1  功
    4.2  动能定理
    4.3  势能
    4.4  引力势能
    4.5  由势能求保守力
    4.6  功能原理和机械能守恒定律
    4.7  守恒定律的意义
    4.8  碰撞
    *4.9  两体问题
    4.10  流体的稳定流动
    4.11  伯努利方程
    提要
    思考题
    习题
  第5章  刚体的转动
    5.1  刚体转动的描述
    5.2  转动定律
    5.3  转动惯量的计算
    5.4  转动定律的应用
    5.5  角动量守恒
    5.6  转动中的功和能
    *5.7  进动
    提要
    思考题
    习题
  第6章  振动
    6.1  简谐运动的描述
    6.2  简谐运动的动力学
    6.3  简谐运动的能量
    6.4  阻尼振动
    6.5  受迫振动共振
    6.6  同一直线上同频率的简谐运动的合成
    6.7  同一直线上不同频率的简谐运动的合成
    *6.8  谐振分析
    *6.9  两个相互垂直的简谐运动的合成
    提要
    思考题
    习题
  第7章  波动
    7.1  行波
    7.2  简谐波
    7.3  物体的弹性形变
    7.4  弹性介质中的波速
    7.5  波的能量
    7.6  惠更斯原理与波的反射和折射
    7.7  波的叠加驻波
    7.8  声波
    *7.9  地震波
    *7.10  水波
    7.11  多普勒效应
    *7.12  行波的叠加和群速度
    *7.13  孤子
    提要
    思考题
    习题
  第8章  狭义相对论基础
    8.1  牛顿相对性原理和伽利略变换
    8.2  爱因斯坦相对性原理和光速不变
    8.3  同时性的相对性和时间延缓
    8.4  长度收缩
    8.5  洛伦兹坐标变换
    8.6  相对论速度变换
    8.7  相对论质量
    *8.8  力和加速度的关系
    8.9  相对论动能
    8.10  相对论能量
    8.11  动量和能量的关系
    *8.12  相对论力的变换
    提要
    思考题
    习题
第2篇  热学
  第9章  温度和气体动理论
    9.1  平衡态
    9.2  温度的概念
    9.3  理想气体温标
    9.4  理想气体状态方程
    9.5  气体分子的无规则运动
    9.6  理想气体的压强
    9.7  温度的微观意义
    9.8  能量均分定理
    9.9  麦克斯韦速率分布律
    9.10  麦克斯韦速率分布律的实验验证
    *9.11  玻耳兹曼分布律
    9.12  实际气体等温线
    *9.13  范德瓦耳斯方程
    *9.14  非平衡态输运过程
    提要
    思考题
    习题
  第10章  热力学第一定律
    10.1  功热量热力学第一定律
    10.2  准静态过程
    10.3  热容
    10.4  绝热过程
    10.5  循环过程
    10.6  卡诺循环
    10.7  致冷循环
    提要
    思考题
    习题
  第11章  热力学第二定律
    11.1  自然过程的方向
    11.2  不可逆性的相互依存
    11.3  热力学第二定律及其微观意义
    11.4  热力学概率与自然过程的方向
    11.5  玻耳兹曼熵公式与熵增加原理
    11.6  可逆过程
    11.7  克劳修斯熵公式
    11.8  用克劳修斯熵公式计算熵变
    *11.9  温熵图
    *11.10  熵和能量退降
    提要
    思考题
    习题
数值表
部分习题答案
索引

    动量与角动量
    第2章讲解了牛顿第二定律,主要是用加速度表示的式(2.3)的形式。该式表示了力和
    受力物体的加速度的关系,那是一个瞬时关系,即与力作用的同时物体所获得的加速
    度和此力的关系。实际上,力对物体的作用总要延续一段或长或短的时间。在很多问题中,
    在这段时间内,力的变化复杂,难以细究,而我们又往往只关心在这段时间内力的作用的总
    效果。这时我们将直接利用式(2.2)表示的牛顿第二定律形式,而把它改写为微分形式并称
    为动量定理。本章首先介绍动量定理,接着把这一定理应用于质点系,导出了一条重要的守
    恒定律———动量守恒定律。然后对于质点系,引入了质心的概念,并说明了外力和质心运动
    的关系。后面几节介绍了和动量概念相联系的描述物体转动特征的重要物理量———角动量,
    在牛顿第二定律的基础上导出了角动量变化率和外力矩的关系———角动量定理,并进一步导
    出了另一条重要的守恒定律———角动量守恒定律。最后还导出了用于质心参考系的角动量
    定理。
    3.1 冲量与动量定理
    把牛顿第二定律公式(2.2)写成微分形式,即
    Fdt=dp (3.1)
    式中乘积Fdt 叫作在dt 时间内质点所受合外力的冲量。此式表明在dt 时间内质点所受合
    外力的冲量等于在同一时间内质点的动量的增量。这一表示在一段时间内,外力作用的总
    效果的关系式叫作动量定理。
    如果将式(3.1)对t0 到t'这段有限时间积分,则有
    ∫t'
    t0
    Fdt=∫p'
    p0dp =p'-p0 (3.2)
    左侧积分表示在t0 到t'这段时间内合外力的冲量,以I 表示此冲量,即
    I=∫t'
    t0
    Fdt
    则式(3.2)可写成
    I=p'-p0 (3.3)
    式(3.2)或式(3.3)是动量定理的积分形式,它表明质点在t0 到t'这段时间内所受的合
    3-1
    3.1 冲量与动量定理36
    外力的冲量等于质点在同一时间内的动量的增量。值得注意的是,要产生同样的动量增量,
    力大力小都可以:力大,时间可短些;力小,时间需长些。只要外力的冲量一样,就产生同样
    的动量增量。
    动量定理常用于碰撞过程,碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。在这一过
    程中,相互作用力往往很大而且随时间改变。这种力通常叫冲力。例如,球拍反击乒乓球的
    力,两汽车相撞时的相互撞击的力都是冲力。图3.
    1是清华大学汽车碰撞实验室做汽车撞
    击固定壁的实验照片与相应的冲力的大小随时间的变化曲线。
    1 汽车撞击固定壁实验中汽车受壁的冲力图3.
    (a)实验照片;(b)冲力-时间曲线
    对于短时间Δt
    内冲力的作用,常常把式(3.改写成
    2)
    ..(4)
    FΔt=Δp
    3.
    式中
    F
    是平均冲力,即冲力对时间的平均值。平均冲力只是根据物体动量的变化计算出的
    ..
    平均值,它和实际的冲力的极大值可能有较大的差别,因此它不足以完全说明碰撞所可能引
    起的破坏性。
    例3.
    1
    汽车碰撞实验。在一次碰撞实验中,一质量为1200kg的汽车垂直冲向一固定壁,碰撞
    前速率为15.0m/s,碰撞后以1.50m/s的速率退回,碰撞时间为0.120s 。试求:
    (1)汽车受壁的冲量;(2)汽车受壁的平均冲力。
    解以汽车碰撞前的速度方向为正方向,则碰撞前汽车的速度v=15.0m/s,碰撞后汽车的速度v'=
    -1.s,而汽车质量m=1200kg。
    50m/
    (1)由动量定理知汽车受壁的冲量为
    I
    =p'-mv
    =1200×
    (50)N·s-1200×15.s
    '-
    p
    =mv-1.0N·
    =-1.4N·s
    98×10
    (2)由于碰撞时间Δt=120s,所以汽车受壁的平均冲力为
    0.
    ..I-98×104
    例3.
    7
    粒子碰撞。在一次α粒子散射过程中,α粒子(质量为
    m
    )和静止的氧原子核(质量为
    第3章 动量与角动量
    M )发生“碰撞”(如图3.9所示)。实验测出碰撞后α粒子沿与入射方向成θ=72°的方向运
    动,而氧原子核沿与α粒子入射方向成β=41°的方向“反冲”。求α粒子碰撞后与碰撞前的
    速率之比。
    解 粒子的这种“碰撞”过程,实际上是它们在运动中相互靠近,继而由于相互斥力的作用又相互分
    图3.9 例3.7用图
    离的过程。考虑由α粒子和氧原子核组成的系统。由于整个
    过程中仅有内力作用,所以系统的动量守恒。设α粒子碰撞
    前、后速度分别为..1,..2,氧核碰撞后速度为V。选如图3.9所
    示坐标系,令x 轴平行于α粒子的入射方向。根据动量守恒的
    分量式,有
    x 向mv2cosθ+MVcosβ = mv1
    y 向mv2sinθ-MVsinβ =0
    两式联立可解出
    v1 =v2cosθ +
    v2sinθ
    sinβ cosβ =
    v2
    sinβsin(θ +β)
    v2
    v1
    = sinβ
    sin(θ +β)= sin41°
    sin(72°+41°)=0.71
    即α粒子碰撞后的速率约为碰撞前速率的71%。
    3.3 火箭飞行原理
    火箭是一种利用燃料燃烧后喷出的气体产生的反冲推力的发动机。它自带燃料与助燃
    剂,因而可以在空间任何地方发动。火箭技术在近代有很大的发展,火箭炮以及各种各样的
    导弹都利用火箭发动机作动力,空间技术的发展更以火箭技术为基础。各式各样的人造地
    球卫星、飞船和空间探测器都是靠火箭发动机发射并控制航向的。
    图3.10 火箭飞行原理说明图
    火箭飞行原理分析如下。为简单起见,设火箭在自由空间飞行,即它不受引力或空气阻
    力等任何外力的影响。如图3.10所示,把某时刻t 的火箭(包括火箭体和其中尚存的燃料)
    作为研究的系统,其总质量为M ,以v 表示此时刻火箭的速率,则此时刻系统的总动量为Mv
    (沿空间坐标x 轴正向)。此后经过dt 时间,火箭喷出质量为dm 的气体,其喷出速率相对于
    火箭体为定值u。在t+dt 时刻,火箭体的速率增为v+dv。在此时刻系统的总动量为
    dm ·(v -u)+ (M -dm )(v +dv)
    由于喷出气体的质量dm 等于火箭质量的减小,即-dM ,所以上式可写为
    -dM ·(v -u)+ (M +dM )(v +dv)
    由动量守恒定律可得
    -dM ·(v -u)+ (M +dM )(v +dv)=Mv
    68
    3-4
    3.4 质心
    展开此等式,略去二阶无穷小量dM ·dv,可得
    udM +Mdv =0 或者
    dv =-udM
    M
    设火箭点火时质量为Mi,初速为vi,燃料烧完后火箭质量为Mf,达到的末速度为vf,对上
    式积分则有
    ∫vf
    vidv =-u∫Mf
    Mi
    dM
    M
    由此得
    vf-vi=ulnMi
    Mf (3.10)
    此式表明,火箭在燃料燃烧后所增加的速率和喷气速率成正比,也与火箭的始末质量比(以
    下简称质量比)的自然对数成正比。
    如果只以火箭本身作为研究的系统,以F 表示在时间间隔t 到t+dt 内喷出气体对火
    箭体(质量为(M -dm ))的推力,则根据动量定理,应有
    Fdt=(M -dm )[(v +dv)-v]=Mdv
    将上面已求得的结果Mdv=-udM =udm 代入,可得
    F =udm
    dt (3.11)
    此式表明,火箭发动机的推力与燃料燃烧速率dm/dt 以及喷出气体的相对速率u 成正比。
    例如,一种火箭的发动机的燃烧速率为1.38×104 kg/s,喷出气体的相对速率为
    2.94×103 m/s,理论上它所产生的推力为
    F =2.94×103 ×1.38×104 N=4.06×107 N
    这相当于4000t海轮所受的浮力!
    为了提高火箭的末速度以满足发射地球人造卫星或其他航天器的要求,人们制造了若
    干单级火箭串联形成的多级火箭(通常是三级火箭)。
    图3.11 “火龙出水”火箭
    火箭最早是中国发明的。我国南宋时出现了作烟火
    玩物的“起火”,其后就出现了利用起火推动的翎箭。明
    代茅元仪著的《武备志》(1628年)中记有利用火药发动的
    “多箭头”(10支到100支)的火箭,以及用于水战的叫作
    “火龙出水”的二级火箭(见图3.11,第二级藏在龙体内)。
    我国现在的火箭技术也已达到世界先进水平。例如长征
    三号火箭是三级大型运载火箭,全长43.25m,最大直径
    3.35m,起飞质量约202t,起飞推力为2.8×103 kN。
    2003年我们发射了载人宇宙飞船“神舟”5号。
    3.4 质心
    在讨论一个质点系的运动时,我们常常引入质量中心(简称质心)的概念。设一个质点
    系由N 个质点组成,以m1,m2,…,mi,…,mN 分别表示各质点的质量,以r1,r2,…,ri,…,
    69
    3-5
    第3章 动量与角动量
    图3.12 质心的位置矢量
    rN 分别表示各质点对某一坐标原点的位矢(图3.12)。我
    们用公式
    rC =Σi
    miri
    Σi
    mi
    =Σi
    miri
    m (3.12)
    定义这一质点系的质心的位矢,式中m =Σi
    mi 是质点系
    的总质量。作为位置矢量,质心位矢与坐标系的选择有
    关。但可以证明质心相对于质点系内各质点的相对位置
    是不会随坐标系的选择而变化的,即质心是相对于质点系
    本身的一个特定位置。
    利用位矢沿直角坐标系各坐标轴的分量,由式(3.12)可以得到质心坐标表示式如下:
    xC =Σi
    mixi
    m
    yC =Σi
    miyi
    m
    zC =Σi
    mizi
    m
    ü
    t
    y
    .....
    .
    .....
    (3.13)
    一个大的连续物体,可以认为是由许多质点(或叫质元)组成的,以dm 表示其中任一质
    元的质量,以r 表示其位矢,则大物体的质心位置可用积分法求得,即有
    rC =∫rdm
    ∫dm
    =∫rdm
    m (3.14)
    它的三个直角坐标分量式分别为
    xC =∫xdm
    m
    yC =∫ydm
    m
    zC =∫zdm
    m
    ü
    t
    y
    ....
    ....
    (3.15)
    利用上述公式,可求得均匀直棒、均匀圆环、均匀圆盘、均匀球体等形体的质心就在它们
    的几何对称中心上。
    力学上还常应用重心的概念。重心是一个物体各部分所受重力的合力作用点。可以证
    明尺寸不十分大的物体,它的质心和重心的位置重合。
    例3.8
    地月质心。地球质量M E=5.98×1024kg,月球质量M M =7.35×1022kg,它们的中心的
    距离l=3.84×105km(参见图3.13)。求地-月系统的质心位置。
    70
    3.5 质心运动定理
    图3.13 例3.8用图
    解 把地球和月球都看作均匀球体,它们的质心就都在
    各自的球心处。这样就可以把地-月系统看作地球与月球质量
    分别集中在各自的球心的两个质点。选择地球中心为原点,x
    轴沿着地球中心与月球中心的连线,则系统的质心坐标
    xC =
    M E·0+M M ·l
    M E +M M ≈ M Ml
    M E
    = 7.35×1022
    5.98×1024 ×3.84×105km =4.72×103km
    这就是地-月系统的质心到地球中心的距离。这一距离约为地
    球半径(6.37×103km)的70%,约为地球到月球距离的1.2%。
    例3.9
    半圆质心。一段均匀铁丝弯成半圆形,其半径为R,求此半圆形铁丝的质心。
    图3.14 例3.9用图
    解 选如图3.14所示的坐标系,坐标原点为圆心。
    由于半圆对y 轴对称,所以质心应该在y 轴上。任取一
    小段铁丝,其长度为dl,质量为dm 。以ρl 表示铁丝的
    线密度(即单位长度铁丝的质量),则有
    dm =ρldl
    根据式(3.15)可得
    yC =∫yρldl
    m
    由于y=Rsinθ,dl=Rdθ,所以
    yC =∫π
    0
    Rsinθ·ρl·Rdθ
    m = 2ρlR2
    m
    铁丝的总质量
    m = πRρl
    代入上式就可得
    yC = 2
    πR
    即质心在y 轴上离圆心2R/π处。注意,这一弯曲铁丝的质心并不在铁丝上,但它相对于铁丝的位置是确
    定的。
    3.5 质心运动定理
    将式(3.12)中的rC 对时间t 求导,可得出质心运动的速度为
    ..C=drC
    dt =Σi
    mi dri
    dt
    m =Σi
    mi..i
    m (3.16)
    由此可得
    71
    3-6
    1.
    F= =
    kN=-165kN
    Δt
    120
    0.
    上两个结果的负号表明汽车所受壁的冲量和平均冲力的方向都和汽车碰撞前的速度方向相反。
    平均冲力的大小为165kN,约为汽车本身重量的14 倍,瞬时最大冲力还要比这大得多。这种巨大的
    冲力是车祸的破坏性的根源,而冲力随时间的急速变化所引起的急动度也是造成人身伤害的原因之一。
    第3章动量与角动量46
    例3.
    2
    一个质量m=140g的垒球以v=40m/s的速率沿水平方向飞向击球手,被击后它以相同
    速率沿θ=60°的仰角飞出,求垒球受棒的平均打击力。设球和棒的接触时间Δt=1.2ms。
    解本题可用式(4) 所以可以用分量式求解,也可直接用矢量关系求
    3.求解。由于该式是矢量式
    ,
    解。下面分别给出两种解法
    。
    (1)用分量式求解。已知v1=v2=v,选如图3.2所示的坐标系,利用式(3.4)的分量式,由于
    v,
    x
    =cs可得垒球受棒的平均打击力的
    x
    方向分
    量为
    v1x
    =-v2voθ,
    ..Δpx
    mv2x
    -mv1x
    mvcosθ-m(-v)Fx =
    Δt=
    Δt=
    Δt =
    0.cs60°+1)N0×10
    14×40×
    (o=7.3N1.-3
    2×10
    又由于v1y
    =0,
    y
    =snθ,
    v2vi可得此平均打击力的
    y
    方向分量为
    图3.2解法(图示Δt
    Δt
    Δt
    2 例3.1)
    Fy =
    Δpy
    =
    mv2y
    -mv1y
    =mvsinθ
    14×40×0.
    =
    0.1.-3866 N0×103N
    =4.
    2×10
    球受棒的平均打击力的大小为
    F=
    F2 y=103×
    7.02N1×103N
    x
    +F2 02+4.=8.
    以
    α
    表示此力与水平方向的夹角,则
    nα=
    Fy
    4.3
    =0.
    0×10
    taFx =
    7.3 57
    0×10
    由此得
    α=30°
    (2)直接用矢量公式(4) 3.FΔ3中的矢量三角形,
    3.求解。按式(
    ..
    4)..t=Δp=m..2-m..1 形成如图3.
    其中mv2=mv1=mv。由等腰三角形可知,
    F
    与水平面的夹角α=
    θ/2=30°,且F..Δt=2mvcosα,于是
    F=
    2mvo=
    2×0.o=8.3N
    csα
    14×40×csα
    N1×10
    1.
    注意,此打击力约为垒球自重的5900 倍! 图3.2解法(图示
    Δt
    2×10-33 例3.2)
    例3.
    3
    一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过(图34), 每秒钟落入车厢的煤为
    Δm=500kg。如果使车厢的速率保持不变,应用多大的牵引力(.) 拉车厢?( 车厢与钢轨间的
    摩擦忽略不计)
    解先考虑煤落入车厢后运动状态的改变。如图3.
    4所
    示,以dm
    表示在dt
    时间内落入车厢的煤的质量。它在车厢对
    它的力
    f
    带动下在dt时间内沿
    x
    方向的速率由零增加到与车
    厢速率
    v
    相同,而动量由0增加到dv
    3.
    m
    ·。由动量定理式(1)
    得,对dm
    在
    x
    方向,应有
    (m·3.
    图3.
    m
    落入车厢被带走对于车厢,在此dt
    时间内,它受到水平拉力
    F
    和煤dm
    对它的
    4 煤dfdt=
    dp=
    dv
    5)
    3.2 动量守恒定律
    反作用f'的作用。此二力的合力沿x 方向,为F-f'。由于车厢速度不变,所以动量也不变,式(3.1)给出
    (F -f')dt =0 (3.6)
    由牛顿第三定律
    f' =f (3.7)
    联立解式(3.5)~式(3.7)可得
    F = dm
    dt ·v
    以dm/dt=500kg/s,v=3m/s代入得
    F =500×3N=1.5×103 N
    3.2 动量守恒定律
    在一个问题中,如果我们考虑的对象包括几个物体,则它们总体上常被称为一个物体系
    统或简称为系统。系统外的其他物体统称为外界。系统内各物体间的相互作用力称为内
    力,外界物体对系统内任意一物体的作用力称为外力。例如,把地球与月球看作一个系统,
    则它们之间的相互作用力称为内力,而系统外的物体如太阳以及其他行星对地球或月球的
    引力都是外力。本节讨论一个系统的动量变化的规律。
    先讨论由两个质点组成的系统。设这两个质点的质量分别为m1,m2。它们除分别受
    图3.5 两个质点的系统
    到相互作用力(内力)f 和f'外,还受到系统外其他物体的作
    用力(外力)F1,F2,如图3.5所示。分别对两质点写出动量
    定理式(3.1),得
    (F1 +f)dt=dp1, (F2 +f')dt=dp2
    将这二式相加,可以得
    (F1 +F2 +f +f')dt=dp1 +dp2
    由于系统内力是一对作用力和反作用力,根据牛顿第三定律,得f=-f'或f+f'=0,
    因此上式给出
    (F1 +F2)dt=d(p1 +p2)
    如果系统包含两个以上,例如i 个质点,可仿照上述步骤对各个质点写出牛顿定律公
    式,再相加。由于系统的各个内力总是以作用力和反作用力的形式成对出现的,所以它们的
    矢量总和等于零。因此,一般地又可得到
    Σi
    ( Fi )dt=d Σi
    ( pi ) (3.8)
    其中Σi
    Fi 为系统受的合外力,Σi
    pi 为系统的总动量。式(3.8)表明,系统的总动量随时间
    的变化率等于该系统所受的合外力。内力能使系统内各质点的动量发生变化,但它们对系
    统的总动量没有影响。(注意:“合外力”和“总动量”都是矢量和! )式(3.8)可称为用于质
    点系的动量定理。
    如果在式(3.8)中,Σi
    Fi =0,立即可以得到d Σi
    ( pi ) =0,或
    Σi
    pi =Σi
    mi..i =常矢量 Σi
    ( Fi =0) (3.9)
    65
    3-2
    第3章动量与角动量66
    这就是说当一个质点系所受的合外力为零时,这一质点系的总动量就保持不变。这一
    结论叫作动量守恒定律。
    一个不受外界影响的系统,常被称为孤立系统。一个孤立系统在运动过程中,其总动量
    一定保持不变。这也是动量守恒定律的一种表述形式。
    应用动量守恒定律分析解决问题时,应该注意以下几点。
    3-
    3
    (1)系统动量守恒的条件是合外力为零,即ΣFi=0。但在外力比内力小得多的情况
    下,外力对质点系的总动量变化影响甚小,这时可以(i) 认为近似满足守恒条件,也就可以近似
    地应用动量守恒定律。例如两物体的碰撞过程,由于相互撞击的内力往往很大,所以此时即
    使有摩擦力或重力等外力,也常可忽略它们,而认为系统的总动量守恒。又如爆炸过程也属
    于内力远大于外力的过程,也可以认为在此过程中系统的总动量守恒。
    (2)动量守恒表示式(3.9)是矢量关系式。在实际问题中,常应用其分量式,即如果系
    统沿某一方向所受的合外力为零,则该系统沿此方向的总动量的分量守恒。例如,一个物体
    在空中爆炸后碎裂成几块,在忽略空气阻力的情况下,这些碎块受到的外力只有竖直向下的
    重力,因此它们的总动量在水平方向的分量是守恒的。
    (3)由于我们是用牛顿定律导出动量守恒定律的,所以它只适用于惯性系。
    以上我们从牛顿定律出发导出了以式(9)表示的动量守恒定律。应该指出,更普遍
    3.
    的动量守恒定律并不依靠牛顿定律。动量概念不仅适用于以速度..运动的质点或粒子,
    而且也适用于电磁场,只是对于后者,其动量不再能用m..这样的形式表示。考虑包括
    电磁场在内的系统所发生的过程时,其总动量必须也把电磁场的动量计算在内。不但对
    可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过程,动量守恒定律成立;
    而且,大量实验证明,对其内部的相互作用不能用力的概念描述的系统所发生的过程,如
    光子和电子的碰撞,光子转化为电子,电子转化为光子等过程,只要系统不受外界影响,
    它们的动量都是守恒的。动量守恒定律实际上是关于自然界的一切物理过程的一条最
    基本的定律。
    4
    例3.
    冲击摆。如图3.6所示,一质量为
    M
    的物体被静止悬挂着,今有一质量为
    m
    的子弹沿
    水平方向以速度..射中物体并停留在其中。求子弹刚停在物
    体内时物体的速度。
    解由于子弹从射入物体到停在其中所经历的时间很短,所以在此
    过程中物体基本上未动而停在原来的平衡位置。于是对子弹和物体这一
    系统,在子弹射入这一短暂过程中,它们所受的水平方向的外力为零,因
    此水平方向的动量守恒。设子弹刚停在物体中时物体的速度为V,则此
    系统此时的水平总动量为(
    m
    +
    M
    )V。由于子弹射入前此系统的水平总
    图3.6 例3.4用图动量为mv,所以有
    mv =
    (
    m
    +
    M
    )
    V
    m
    由此得
    V
    =m+Mv
    3.2 动量守恒定律76
    5例3.
    如图37所示,一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为
    M
    ,停在光滑的水平面上,另一
    质量为
    m 的(.) 小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体
    m
    滑到底时,大物体
    M
    在水平面
    上移动的距离。
    解选如图3.取
    m
    和
    M
    为系统。在
    7所示的坐标系,
    m
    下滑过程中,在水平方向上,系统所受的合外力为零,因
    此水平方向上的动量守恒。由于系统的初动量为零,所以,
    如果以..和
    V
    分别表示下滑过程中任一时刻
    m
    和
    M
    的速
    度,则应该有
    0=mvx
    +
    M
    (-V)
    因此对任一时刻都应该有
    mvx
    =MV
    就整个下落的时间
    t
    对此式积分,有图3.7 例3.5用图
    m∫tvxdt=
    M∫tVdt
    00
    以
    s
    和
    S
    分别表示
    m
    和
    M
    在水平方向移动的距离,则有
    s=∫tvxdt,S=∫tVdt
    0 0
    因而有
    ms =
    MS
    又因为位移的相对性,有s=R-S,将此关系代入上式,即可得
    m
    S
    =m+MR
    值得注意的是,此距离值与弧形槽面是否光滑无关,只要
    M
    下面的水平面光滑就行了。
    6例3.
    原子核147Sm 是一种放射性核,它衰变时放出一α粒子,自身变成143Nd 核。已测得一
    静止的147Sm 核放出的α粒子的速率是1.04×107m/s,求143Nd 核的反冲速率。
    解以M0 和V0(0)分别表示147Sm 核的质量和速率,以
    M
    和
    V
    分别表示143Nd 核的质量和速
    率,以
    m
    和
    v
    分别表示α粒子的质量和速率,8所示,
    V0=
    V
    和..的方向如图3.以147Sm 核为系统。由于衰变只
    是147Sm 核内部的现象,所以动量守恒。结合图3.应有
    V
    和..方向相反,
    8所示坐标的方向, 其大小之间的
    关系为
    M0V0 =
    M
    (-V)+mv
    由此解得143Nd 核的反冲速率应为
    mv-M0V0 M0-v-M0V0
    图3.8 147Sm 衰变V= =
    (
    M )
    MM
    代入数值得
    (147-143)×1.-147×0s=2.s
    04×107
    V=
    143 m/91×105m/