第1章  极限
  1.1  数列极限
    1.1.1  什么是可列无穷
    1.1.2  变量的数学
    1.1.3  从日常生活到数列极限
    1.1.4  数列极限的严格定义
    1.1.5  极限的等价描述
    1.1.6  什么时候不收敛
    1.1.7  大学数学从极限开始合适吗
    1.1.8  数列极限的简单例子
    1.1.9  利用夹挤定理计算极限
    1.1.10  无穷大量：趋于无穷
  1.2  实数系的连续性与完备性
    1.2.1  用确界原理描述实数连续性
    1.2.2  单调有界原理
    1.2.3  单调有界原理应用：e和为什么要定义它
    1.2.4  单调有界原理应用：Euler常数
    1.2.5  闭区间套定理
    1.2.6  Bolzano-Weierstrass定理
    1.2.7  Cauchy收敛原理的叙述和解释
    1.2.8  Cauchy收敛原理的证明和应用
    1.2.9  有界数列上下极限
  1.3  数项级数
    1.3.1  数项级数定义与基本问题
    1.3.2  Cauchy与d’Alembert判别法
    1.3.3  级数收敛的Cauchy收敛原理
    1.3.4  级数的条件收敛与绝对收敛
    1.3.5  作为无穷和的级数的结合律与交换律
    1.3.6  分配律：将级数的乘法展开成级数
    1.3.7  Cesaro求和
  1.4  函数连续性
    1.4.1  函数极限定义
    1.4.2  连续性
    1.4.3  一致连续性
    1.4.4  有界闭区间上连续函数像为有界闭区间
第2章  导数与微分
  2.1  一元函数导数与微分
    2.1.1  作为瞬时速度的导数
    2.1.2  简单初等函数导数
    2.1.3  求导法则
    2.1.4  高阶无穷小量
    2.1.5  微分在干什么：线性近似
    2.1.6  微分究竟是什么：假假真真的解释
    2.1.7  停下来回顾
    2.1.8  微分形式不变性
  2.2  从Fermat引理到Taylor展开
    2.2.1  Fermat引理及其推论
    2.2.2  单调性与凸性
    2.2.3  Jensen与Holder不等式
    2.2.4  Taylor公式的导出
    2.2.5  若干初等函数Taylor展开
  2.3  多元函数与向量值函数微分
    2.3.1  多元函数的微分
    2.3.2  多元函数偏导数与方向导数
    2.3.3  多元函数高阶偏导数
    2.3.4  向量值函数微分与Jacobi矩阵
    2.3.5  从Jacobi矩阵的链式法则到微分形式不变性
    2.3.6  从微分形式不变性到Jacobi矩阵的链式法则
  2.4  隐函数定理
    2.4.1  隐函数定理的动机和道理
    2.4.2  隐函数定理的证明
    2.4.3  曲面与等值面
    2.4.4  反函数定理
    2.4.5  极值问题
    2.4.6  梯度与机器学习
第3章  积分
  3.1  定积分
    3.1.1  定积分概念的引入
    3.1.2  定积分的定义
    3.1.3  可积的充分必要条件
    3.1.4  定积分的应用：微元法
    3.1.5  Newton—Leibniz公式
    3.1.6  微积分基本定理
    3.1.7  连续情形下两个定理的等价性
    3.1.8  定积分的变量替换公式与分部积分公式
    3.1.9  Riemann引理
    3.1.10  渐近单位元
    3.1.11  。Jensen不等式与HSlder不等式
    3.1.12  若干其他定积分不等式
    3.1.13  定积分与内积
    3.1.14  反常积分的定义与基本问题
    3.1.15  反常积分条件收敛与绝对收敛
  3.2  重积分
    3.2.1  二维Euclid空间中可求面积区域
    3.2.2  二重积分与多重积分定义及其可积性
    3.2.3  积分的回顾
    3.2.4  Fubini定理
    3.2.5  重积分变量替换公式
    3.2.6  反常重积分
    3.2.7  定积分与重积分的差异
  3.3  曲线与曲面上函数积分
    3.3.1  弧长公式
    3.3.2  曲线上函数积分定义
    3.3.3  曲面面积公式
    3.3.4  曲面上函数积分定义
  3.4  曲线与曲面上微分形式积分
    3.4.1  1形式，2形式和外积
    3.4.2  n形式和外积
    3.4.3  曲线上1形式积分
    3.4.4  曲线上1形式积分计算
    3.4.5  曲面定向
    3.4.6  曲面上2形式积分
    3.4.7  曲面上2形式积分计算
    3.4.8  Green公式
    3.4.9  Green公式与平面有洞区域
    3.4.10  Stokes公式
    3.4.11  GaUSS公式
    3.4.12  GaUSS公式与三维有洞区域
    3.4.13  外微分，Stokes公式，Poincare引理
第4章  函数项级数
  4.1  何谓函数列的收敛
    4.1.1  点态收敛
    4.1.2  点态收敛的不足与极限换序
    4.1.3  一致收敛
    4.1.4  一致收敛与极限和积分换序
    4.1.5  一致收敛与求导换序
    4.1.6  一致收敛的Cauchy收敛原理及其推论
  4.2  整整齐齐的幂级数
    4.2.1  幂级数的收敛性
    4.2.2  幂级数和函数的性质
    4.2.3  若干初等函数的幂级数展开
    4.2.4  Taylor级数展开的不足和Weierstrass第一逼近定理
  4.3  Fourier级数
    4.3.1  动机：用三角函数级数表示函数
    4.3.2  放到圆周上
    4.3.3  Dirichlet积分
    4.3.4  Riemann引理与局部性原理
    4.3.5  点态收敛结论略述
    4.3.6  Fourier级数的Cesaro求和
    4.3.7  假设这是一个内积空间：平方和逼近
    4.3.8  Parseval等式：勾股定理
  4.4  Fourier变换
    4.4.1  Fourier变换的定义
    4.4.2  平移，倍增与求导和卷积
    4.4.3  Fourier逆变换
    4.4.4  离散Fourier变换与FFT