前言
1961年版前言
第一部分  做做数字游戏
  第一章  大数
    1  你能数到多少？
    2  怎样对无穷大进行计数
  第二章  自然数与人工数
    1  最纯粹的数学
    2  神秘的√-1
第二部分  空间、时间和爱因斯坦
  第三章  空间的不寻常性质
    1  维数和坐标
    2  不量尺寸的几何学
    3  把空间翻过来
  第四章  四维世界
    1  时间是第四维
    2  时空等价
    3  四维足巨离
  第五章  空间和时间的相对性
    1  空间和时间的相互转变
    2  以太风和天狼星之旅
    3  弯曲空间和重力之谜
    4  封闭空间和开放空间
第三部分  微观世界
  第六章  下降的阶梯
    1  希腊观念
    2  原子有多大？
    3  分子束
    4  原子摄影
    5  将原子剖开
    6  微观力学和不确定性原理
  第七章  现代炼金术
    1  基本粒子
    2  原子的心脏
    3  轰击原子
    4  核子学
  第八章  无序定律
    1  热的无序
    2  如何描述无序运动？
    3  计算概率
    4  “神秘”的熵
    5  统计涨落
  第九章  生命之谜
    1  我们是由细胞构成的
    2  遗传和基因
    3  基因作为“活的分子”
第四部分  宏观世界
  第十章  不断扩展的视野
    1  地球及其附近
    2  银河系
    3  走向未知事物的边界
  第十一章  创世年代
    1  行星的诞生
    2  恒星的“私生活”
    3  原始混沌和膨胀宇宙
插图
译后记

    3  把空间翻过来
    到目前为止，我们一直在讨论各种表面也就是二维空间的拓扑学性质。但类似的问题显然也可以针对我们生存于其中的三维空间提出。这样一来，地图上色问题在三维情况下的推广就可以表述成：要把由不同材料制成的各种形状的镶嵌图案拼成一个空间，使得没有任何两块由同一种材料制成的镶嵌图案有共同的接触面，那么需要用多少种材料？
    上色问题在球面或环面上的三维类比是什么呢？能不能想出一些不同寻常的空间，它们与普通空间的关系就如同球面或环面与普通平面的关系？初看起来，这个问题似乎没有什么意义。事实上，我们虽然很容易想到许多不同形状的表面，却往往认为只可能有一种三维空间，即我们生活于其中的那个熟悉的物理空间。但这种看法是一种危险的幻觉。只要稍微发动一下想象力，我们就能想出与欧几里得几何教科书中所讲空间截然不同的一些三维空间。
    设想这类古怪空间的主要困难在于，我们本身是三维生物，我们只能“从内部”打量这个空间，而不能像在观察各种怪异表面时那样“从外部”去打量。不过，经过一番思维训练，我们是能够征服这些怪异空间的。
    我们首先来建立一个性质与球面相似的三维空间模型。当然，球面的主要性质是：它没有边界，但有有限的面积；它转过来自我封闭。我们能否设想一个三维空间，它以类似的方式自我封闭，从而有有限的体积而无明确边界呢？
    考虑两个球体，它们各自被自己的球面所限，就像苹果被自己的外皮所限一样。现在，设想这两个球体“相互穿过”，沿外表面连在一起。当然，这并不是说我们能把两个物体（比如两个苹果）挤得相互穿过，从而使其表皮粘连在一起。苹果能被挤碎，但永远也不会相互穿过。
    或者，我们可以设想有个苹果被虫子吃出了错综复杂的通道。假定有黑色和白色两种虫子，它们彼此厌恶，在苹果内的各自通道绝不相通，尽管可以始于苹果皮上的相邻两点。一个被这两种虫子蛀来蛀去的苹果最后会像图18那样，出现两个紧密交缠、布满整个苹果内部的通道网络。然而，尽管黑虫和白虫的通道可以很接近，要想从一半迷宫走到另一半迷宫，却必须先到表面才行。如果设想通道变得越来越细，数目越来越多，那最后苹果内将会有两个互相交叠的独立空间，它们仅在共同表面上相连。
    如果你不喜欢虫子，可以设想一种类似于纽约世界博览会的巨型球体建筑中那种双走廊双楼梯系统。设想每一套楼梯系统都盘旋穿过整个球体，但要从其中一套系统的某个点到达另一套系统的临近点，只能先走到球面上两套系统的会合处，然后再往回走。我们说这两个球体互相交叠而彼此不相干涉，你的朋友可能离你很近，但要见到他、握个手，你必须兜很大的圈子！需要注意的是，这两套楼梯系统的连接点其实与球内的任何其他点并无不同，因为总可以使整个结构变形，把连接点推到里面，把以前里面的点弄到表面。关于我们的模型，第二点要注意的是，虽然两套通道的总长度是有限的，但没有“死胡同”。你可以不断穿过走廊和楼梯，而不会被墙壁或栅栏挡住；如果你走得足够远，你最终一定能回到你的出发点。从外面审视整个结构，我们可以说，在这迷宫中穿行的人最终总会回到其出发点，因为楼梯会逐渐转到反方向。但对于处在内部而不知“外面”为何物的人来说，空间将表现为有限尺寸而无明确边界的东西。我们将在后面看到，这种没有明显边界但并非无限的“自我封闭的三维空间”在讨论整个宇宙的性质时是非常有用的。事实上，用最强大的望远镜所作的观测似乎表明，在如此遥远的距离处，空间开始弯曲，显示出一种返折回来自我封闭的明显趋势，就像苹果被虫子蛀出通道的那个例子一样。但在讨论这些令人兴奋的问题之前，我们还得再了解一下空间的其他性质。
    关于苹果和虫子，我们还没有讲完。下一个问题是：能否把一个被虫子蛀过的苹果变成一个面包圈呢？当然，这并不是说要使苹果尝起来像面包圈，而只是说让它看起来像面包圈；我们在讨论几何学，而不是烹饪术。让我们取一个上一节所讨论的“双苹果”，也就是两个“相互穿过”且表皮“粘连在一起”的新鲜苹果。假设有一只虫子在其中一个苹果中蛀出了一条环形通道，如图19所示。请记住，是在一个苹果中蛀的，所以通道外的每一点都是属于两个苹果的双重点，而通道内则只有那个未被虫蛀过的苹果的物质。这样一来，我们这个“双苹果”就有了一个由通道内壁组成的自由面（图19a）。
    你能改变这个受损苹果的形状，将它变成一个面包圈吗？当然，这要假设苹果有很大的可塑性，可以随意捏成什么样子，唯一的条件是苹果不会发生破裂。为了便于操作，我们可以把苹果切开，只要在完成所需的变形之后还能将切口粘起来。
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